Væskegnidning – Niels Bohr Institutet - Københavns Universitet

04. august 2008

Væskegnidning

Kære brevkasse
Jeg er stødt på et fysisk problem, som jeg tror jeg har en løsning på, men jeg vil lige spørge de rigtige fysikere.

Jeg arbejder til dagligt med numerisk analyse af lineare systemer med diskrete masser og viskos dæmpning. Newton's anden lov for disse systemer kan generelt skrives Ma + Cv + Kd = F, hvor M er massematricen, C er dæmpningsmatricen, K er stivhedsmatricen, a er acceleration, v er hastighed, d er udbøjning og F er ydre krafter.

I henhold til det klassiske relativitetsprincip vil alle fysiske love være de samme for alle observanter, der befinder sig i inertialsystemer. Vi antager, at alle hastigheder v << c, hvor c er lyset hastighed, sådan at Galilei-transformationen er gyldig. Vi forestiller os to observanter, der befinder sig i to inertialsystemer O og O', der bevæger sig med den relative, konstante hastighed u langs x-aksen (igen, u << c). I hvert inertialsystem udføres et eksperiment med to identiske systemer (dvs. med samme masse, dæmpning, stivhed og ydre krafter). I henhold til det klassiske relativitetsprincip vil det så gælde at Ma = Ma', hvor a er acceleration observeret i det første inertialsystem O, og a' er acceleration observeret i det andet inertialsystem O'. Den relative position og hastighed af de to systemer er givet ved d = d' -  ut og v = v' -  u, hvor uT = [u, 0, 0, u, 0, 0, u, 0, 0,  ... , u, 0, 0]T. De første tre elementer [u,0,0] T i u er hastigheden af masse nummer 1 langs de tre hovedakser (x, y, z); de næste tre elementer [u,0,0] T er hastigheden af masse nummer 2 langs de tre hovedakser (x, y, z); osv.

Det følger endvidere at Cv + Kd - F = Cv' + Kd' - F'. Vi har også, at F = F' (da eksperimenterne er identiske), Derfor må vi have at Cv + Kd  = C(v+u) + K(d + ut). Vektoren u repræsenterer jævn bevægelse af et stift (eng. rigid) legeme; derfor er Kut = 0 for alle værdier af u og t (en translation of et stift legeme forårsager ingen forøgelse af den indre potentielle energi og derfor ingen elastiske krafter). Det følger endeligt at Cv = C(v+u).

Mine spørgsmål lyder nu: I første omgang, er min udledning korrekt? I anden omgang, hvis min udledning er korrekt, kan man deraf slutte, at for alle mulige former af viskos dæmpning må det nødvendig gælde at Cu = 0; og hvis det ikke er opfyldt (som det f.eks. ikke er for masse-proportional dæmpning, hvor C = aM), så vil C være i modstrid med det klassiske relativitetsprincip? Med andre ord: kan vi slutte, at viskos dæmpning af formen C = aM ikke forekommer i naturen?

Jeg håber, at mit spørgsmål ikke er alt for trivielt. På forhånd tak for jeres tid og opmærksomhed.

Med venlig hilsen
AN

Tak for din mail. Lad mig starte ud med at simplificere din problemstilling og at give et konkret eksempel. Det hjælper som regel på forståelsen.

Så vidt jeg kan se, så er et simplere eksempel på det du spørger om givet ved en punktformet legeme fastgjort med en fjeder. Legemet er nedsænket i en væske.

Vi starter med Newtons anden lov: Ftot = Ma, hvor Ftot er den totale

kraft: Ftot = - k *Δx - C v + Fydre.

Her er fjederkraften Ffj = - k *Δx, hvor Δx er legemets afvigelse fra ligevægtstilstanden. I modsætning til, hvad der er almindeligt i mange lærebøger, så forsøger jeg at lære mine studerende at indsætte dette Δ i Hookes lov. Det understreger jo netop, at fjederkraften er den samme for enhver iagttager, idet Δx jo er den samme for enhver (i modsætning til det indtryk man kunne få, hvis man skriver Ffj = -kx).

Den viskose kraft er Fvis = - Cv. Her er det vigtigt at understrege, at v er hastigheden af legemet i forhold til væsken. Altså v = vlegeme - vvæske. Ved at gå til et andet koordinatsystem, vil både vlegeme og vvæske ændre sig på samme måde, og v vil være den samme.

I dette simple eksempel ser du, at både fjederkraften og dæmpningskraften vil være den samme for enhver iagttager, idet begge kræfter afhænger af relative størrelser (relativ afstand og relativ hastighed). Det klassiske relativitetsprincip er dermed trivielt opfyldt.

Jeg mener du umiddelbart vil kunne overføre ovenstående argumenter til dit eget problem.

Håber det besvarede dit spørgsmål.

Med venlig hilsen
Mogens Dam lektor