Symmetrisk tvillingeparadoks – Niels Bohr Institutet - Københavns Universitet

Niels Bohr Institutet > Spørg om Fysik > ? om Fysik > Symmetrisk tvillingepa...

25. september 2013

Symmetrisk tvillingeparadoks

Hej Spørg om Fysik
Tvillinger i hver sit rumskib, startende ude i rummet, rejser i modsat retning, hver især accelererende op til 4/5 af lysets hastighed, fortsættende derefter i inertialbevægelse i længere tid, hvorpå de decelererer indtil deres indbyrdes bevægelse er nul, og dernæst accelererer op til 4/5 af lysets hastighed i retning mod hinanden, fortsættende i inertialbevægelse lige så længe som før, for til sidst at decelerere så de ankommer til hvor de startede.

Hvordan gælder den tidsforlængelse som den specielle relativitetsteori tilskriver inertialbevægelse her? Fra hver tvillings perspektiv er det jo den anden der er i bevægelse. Og hvordan undgår man at deres indbyrdes hastighed bliver 8/5 af lysets hastighed? -Skal udgangspunktet anses for et intermediært inertialsystem for relativistisk sammenlægning af hastigheder? Og hvordan undgår man at hvers hastighed bliver 8/5 på tilbageturens inertialbevægelse relativt til udturens inertialbevægelse?

Mere konkret, hvordan defineres inertialbevægelse i den specielle relativitetsteori - for når fysikken inde i inertialsystemet forandres (altså tiden går langsommere), så er det jo ikke det gamle relativitetsprincip, hvor fysikken jo netop er den samme i ethvert inertialsystem, så man altså ikke kan sige om man selv er i bevægelse eller om det er det andet der er i bevægelse, men netop må holde sig til at sige at bevægelse kun er relativ, men hvis tiden går langsommere, så er bevægelsen jo absolut defineret, og relativitetsprincippet derfor brudt...

Med venlig hilsen
J M C

Albert Einstein

Symmetrisk tvillingeparadoks

Den specielle relativitetsteori beskriver, som spørgeren anfører, forholdene under jævn (altså uaccelereret) relativ bevægelse. Vi vil her undersøge begrebet tidsforlængelse.

Lad os betragte to iagttagere A og B, som begge er uaccelererede, og altså udfører jævne bevægelser. Vi antager, at de to iagttagere bevæger sig i forhold til hinanden med 4/5 af lyshastigheden. I medfør af den relativistiske tidsforlængelse, vil A da se, at et ur i hvile i forhold til B går langsommere end et ur i hvile i forhold til sig selv. Med den her antagede relative hastighed, vil A for hver gang han ser at 5 sekunder er passeret på sit eget ur, se at kun 3 sekunder er passeret på B's ur.

Men dette går selvfølgelig begge veje. Man kan ikke definere hvem af iagttagerne, A eller B, der er i hvile, og hvem, der bevæger sig. Det eneste meningsfyldte, man kan sige er, at de to bevæger sig *i forhold til hinanden*. Der er altså i princippet ingen forskel på de to iagttagere - problemstillingen er fuldstændig symmetrisk. Og relativitetsteorien fortæller os da således også, at for hver gang B ser at 5 sekunder er passeret på sit eget ur, vil han se at kun 3 sekunder er passeret på A's ur.

Situationen opsummeres her:

  • Set af A: B's ur bevæger sig 3 sekunder, mens A's ur bevæger sig 5 sekunder.
  • Set af B: A's ur bevæger sig 3 sekunder, mens B's ur bevæger sig 5 sekunder.

Men er dette ikke umuligt? Hvilket ur går langsomst *i virkeligheden*, kunne man være fristet til at spørge. Al erfaring fortæller os, at relativitetsteoriens beskrivelse er korrekt: Svaret på hvilket ur, der går langsomst, afhænger af øjnene, der ser. Grunden til, at dette ikke leder til vanskeligheder, er to iagttagere i jævn bevægelse højest mødes én gang i tiden, på deres rejse gennem rummet.

Man har da forsøgt at konstruere (tænkte) situationer, hvor to iagttagere først er sammen, dernæst adskilles, og slutteligt genforenes, således, at de kan sammenligne deres ures gang til to tidspunkter. I stedet for mekaniske ure kan man benytte det biologiske ur. Man forestiller sig da, at to tvillinger adskilles og senere forenes. Spørgsmålet er nu, om de to tvillinger er lige gamle ved genforeningen. Dette udgør det såkaldte tvillingeparadoks. Egentlig er ordet "paradoks" her misvisende. I relativitetsteorien er der absolut intet paradoksalt over, hvad der sker. Og den forudsagte opførsel bekræftes faktisk i vores dagligdag, hver gang vi benytter vores GPS til at finde vej. Mere om dette nedenfor.

Alfa centauri ses på den sydlige halvkugle

Lad os vende tilbage til tvillingeparadokset. Lad os antage, at to tvillinger, A og B, fødes og umiddelbart adskilles. Hvor A bliver tilbage i trygge omgivelser på Jorden, bringes B ind i et rumskib, der med 4/5 af lyshastigheden bringer hende ud til Alpha Cantauri og tilbage igen. Afstanden til Alpha Centauri er 4 lysår, hvorfor rejsen derud vil tage 5 år set fra jordsystemet. Rejsen frem og tilbage tager dermed 10 år, og det vil være A's alder, ved genforeningen. Spørgsmålet er nu, hvor gammel B vil være til dette tidspunkt. Svaret findes enkelt af den ovenstående diskussion: For hver gang A ser 5 sekunder passere på sit eget ur, ser han 3 sekunder passere på B's ur. Dette fortsætter i 10 år, hvorfor altså B kun vil være 6 år ved genforeningen. [Hertil vil der være små korrektioner, idet B's hastighed under de accelerede dele af bevægelsen er mindre end 4/5 af lyshastigheden, men disse korrektioner er små og uden stor betydning for vores diskussion.] Men hov! Kunne vi ikke have argumenteret den anden vej rundt, på samme måde, som vi gjorde ovenfor? Kunne vi ikke have argumentert, at B vil se A's ur gå langsommere, og at det derfor vil være A der er yngst ved genforeningen. Ikke helt. Der er nemlig i dette eksempel en meget væsentlig forskel på A og B. Hvor A hele tide er i jævn bevægelse, så udfører B endog meget kraftige accelerationer i dele af sin bevægelse. Og acceleration er en virkelig (absolut) fysisk realitet (i modsætning til hastighed, som kun har en relativ betydning). Systemet af A og B er altså ikke symmetrisk. Det bryder dermed ingen symmetri, at de to tvillinger har forskellig alder ved genforeningen.

Lad os diskutere B's bevægelse lidt nøjere. I modsætning til A, som hele tiden er uaccelereret (bortset fra jordens tyngdeacceleration, som i denne problemstilling er negligibel) er dele af B's bevægelse volsomt accelererede: I første omgang skal rumskibet accelereres op til 4/5 af lyshastigheden, dernæst skal det ændre retning rundt om Alpha Centauri, og sluttelig skal det bremse op, idet det igen når Jorden. Man kan tænke sig at gøre de accelerede dele af rejsen meget kortvarige ved at gøre accelerationerne voldsommere. Under det meste af rejsen vil B da være uaccelereret, og vi kan benytte den specielle relativitetsteoris formalisme. B vil da se at A's ur går langsommere end sit eget. Vi har allerede vist, at B vil være 3 år, idet hun når Alpha Centauri. Hvor gammel vil hun da synes, at A er til dette tidspunkt. Svaret findes enkelt: 3/5 * 3 år = 1.8 år. Og ligesom B ser A ældes med 1.8 år på udturen, vil hun også se A ældes med 1.8 år på hjemturen. Så set fra B må A være 8.2 år, idet B starter den jævne del af rejsen tilbage fra Alpha Centauri. Lad os opsummere, hvad B ser: A er 1.8 år, idet B indleder den accelererede bevægelse rundt om Alpha Centauri; A er 8.2 år, idet B afslutter den accelererede bevægelse rundt om Alpha Centauri. Altså ser B at A ældes med 6.4 år under den accelererede bevægelse rundt om Alpha Centauri! [I argumentet her, har vi negligeret effekten af de accelererede dele af bevægelsen ved starten og afslutningen af rejsen. Dette kan vises at være en god tilnærmelse.] Vi har her argumenteret os frem til dette måske overraskende resultat indirekte. Men kunne vi ikke have benyttet den specielle relativitetsteoris formalisme til at udlede dette resultat direkte. Desværre ikke. Den specielle relativitetsteori udtaler sig kun om fænomener set af iagttagere i jævn bevægelse. Og B er jo netop i en (voldsom) accelereret bevægelse, idet hun vender rundt om Alpha Centauri. Man kan da ty til den almene relativitetsteori, hvoraf man da også lærer, at hvis man selv er i en accelereret bevægelse og betragter et uaccelereret ur, så vil man se dette ur gå hurtigere. Præcis som B ser A ældes hurtigere under acceleratione rundt om Alpha Centauri.

Forudsigelsen er klar: Skal man forblive ung, skal man bevæge sig. Rejs ud og hjem, og du vil være yngre end du ellers ville have været. De hastigheder vi benytter i vores dagligdag er jo ret små. Så en tur ned til bageren og tilbage søndag morgen giver kun omkring et nano-sekund. Men efter en milliard ture har man da vundet et sekund.

Ved at følge spørgeren og udvide tankeeksperimentet til et trillingeparadoks bringes egentlig intet nyt til problemstillingen. Hvis de to rejsende trillinger bevæger sig på samme måde (men dog i modsat retning) i forhold til Jorden, vil de klart have samme alder ved genforeningen. Dette følger at symmetriargumenter. Ved hjælp af den almene relativitetsteori kan man utvivlsomt regne sig frem til, hvordan den ene rejsende trilling vil opleve den anden rejsende trillings opvækst. Det vil være en halvkompliceret udregning, og resultatet kender vi jo allerede fra symmetriargumentet: De to rejsende trillinger har samme alder, altså 6 år, når de mødes med den på Jorden tilbageblevne trilling, som da er 10 år.

Der er forresten intet mystisk i situationen, hvor de to rumskibe bevæger sig væk fra Jorden i diametralt modsatte regninger, hver med 4/5 af lyshastigheden. Set fra Jorden vil den relative hastighed af de to rumskibe være 8/5 af lyshastigheden. Vælger vi derimod at se situationen fra det ene af rumskibene, vil Jorden herfra bevæge sig væk med 4/5 af lyshastigheden, mens det andet rumskib vil fjerne sig med 40/41 af lyshastigheden. Ifølge relativitetsteorien kan objekter aldrig bevæge sig hurtigere end lyshastigheden. Dette kommer til udtryk ved, at man ikke lægger hastigheder sammen, som man gør med tal. Man "sammensætter" hastigheder. Hvor man intuitivt ville forvente, at en iagttager i det ene rumskib ville se det andet rumskib fjerne sig med 8/5 af lyshastigheden (fordi jo, at 4/5 + 4/5 = 8/5), så er relativitetsteoriens svar altså 40/41 af lyshastigheden.

At hastigheder er begrænset af lyshastigheden ser vi et tydeligt eksempel på i LHC-acceleratoren ved CERN. Her accelereres protoner op, indtil de har en kinetisk

Cern

energi der er 7500 gange højere end deres hvileenergi. Ved denne enorme energi er protonernes hastighed meget tæt på lysets. Men de når den ikke helt. Helt præcist bevæger protonerne sig med 99.9999991% af lyshastigheden.

Og så lige et par ord om GPS-systemet, som jeg lovede ovenfor. Dette overordentligt populære navigationssystem baserer sig på modtagelsen af præcise tidssignaler fra (mindst) tre forskellige satellitter. Med tre præcise tidssignaler, kan man beregne præcist, hvor man er. Men for at systemet skal kunne virke, må man tage relativistiske effekter i betragtning. Der er to af slagsen, som begge er glimrende illustrationer af de effekter, jeg har diskuteret ovenfor:

GPS satellit baner

1) Satellitterne bevæger sig rundt om Jorden, og er altså i bevægelse i    forhold til os. Vi vil da se, at satellitternes ure går langsommere end    et tilsvarende stationært ur. Denne effekt kræver en korrektion på 7 micro-sekunder per døgn.

2) Vi befinder os i Jordens tyngdefelt. Satellitterne befinder sig højere og dermed i et svagere tyngdefelt. Ifølge Einsteins ækvivalensprincip er et tyngdefelt ækvivalent med at udføre en accelereret bevægelse. Så situationen er altså ækvivalent med, at vi udfører en acceleret bevægelse og betragter satellitternes ure som accelerer svagere. Vores situation er lidt ligesom B's, når hun accelererer rundt om Alpha Centauri og begragter A. Vi vil dermed med baggrund i denne effekt, se at satellitternes ure går hurtigere. Effekten er 45 micro-sekunder per døgn.

De to effekter går som anført i modsat retning, og tilsammen må man korrigere satellitternes ure med 38 micro-sekunder per døgn. Det er det amerikanske militær,

GPS satellit

der står bag GPS-satellitterne. Før man sendte dem op, insisterede militæret på, at de var udstyret med en kontakt, så man kunne skifte om mellem om man ville korrigere for de relativistiske effekter eller ikke. Militærfolkene var konservative, og vidste ikke helt, om de kunne stole på alle disse fysikere med deres sære argumenter. Så man ville være sikker. Og det kan man måske godt forstå: De relativistiske korrektioner er så store, at GPS-systemets fejlvisning ville bygge op med 7 meter per sekund, hvis man lader dem ude. Man fik aldrig brug for at slukke for de relativistiske korrektioner. De er en vigtig del af vores dagligdag.

Med venlig hilsen
Mogens Dam