Relativistiske afstande og tider – Niels Bohr Institutet - Københavns Universitet

Niels Bohr Institutet > Spørg om fysik > ? om Fysik > Relativistiske afstand...

28. januar 2010

Relativistiske afstande og tider

Hej Spørg om Fysik
Jeg hørte i en radioudsendelse for nyligt, at hvis man fløj fra fx København til New York med lysets hastighed (eller tæt på), så vil den afstand der skulle tilbagelægges, være mindre end den afstand der normalt tilbagelægges med et rutefly.

Er det korrekt, at den afstand (i km) der skal tilbagelægges, bliver mindre jo hurtigere man rejser ?

Billedet fra forrige side: Illustrationen er George Gamow's tegning som illustrerer en bil nær lyshastighed som ses kortere idet den farer forbi på grund af længdeforkortelsen.

Med venlig hilsen
P A

Albert Einstein (1879-1955) offentliggjorde i 1905 den specielle relativitetsteori. Teorien var i mange år omdiskuteret, men er i dag en af de mest grundlæggende elementer i den moderne fysik.

Albert Einstein (1879-1955)

Teorien er i virkeligheden en teori for beskaffenheden af rum og tid. Rum og tid forekommer forskellig for to iagttagere i relativ bevægelse. De mest berømte manifestationer af dette er længdeforkortningen, som du berører med dit spørgsmål, og tidsforlængelsen.

Gammafaktoren

I de fleste formler i relativitetsteorien optræder en vigtig faktor, kaldet Lorentz-gamma-faktoren. Den er defineret ved

  γ = 1./ √{1-(v/c)2},

hvor v er hastigheden, hvormed man bevæger sig i forhold til det fænomen man betragter, og c = 300.000 km/s er lyshastigheden. Hvis vi fx bevægede os i et rumskib med v = 30.000 km/s i forhold til jorden, så er γ = 1,005. Var hastigheden v = 100.000 km/s, så er γ = 1,0607. Ved 99% af lyshastigheden er γ  = 7,0888. De højeste hastigheder, man har opnået for subatomare partikler i såkaldte acceleratorer svarer til γ=204000 og altså dermed 99,9999999988% af lyshas­tigheden.

Relativistisk tid

Flyver man forbi jorden og betragter et ur på jorden (f.eks..på Rådhuset), så vil man se, at dette ur går langsommere med en faktor, der præcis svarer til gamma-faktoren, altså

  T = T0/√{1-(v/c)2},

hvor T0 er tiden på det jordbaserede ur, mens T er tiden målt på et ur i rumskibet. Hvis man fra rumskibet betragter sekundviseren på det jordbaserede ur, vil det for iagttageren i rumskibet med v = 30.000 km/t tage 1,005 sek. for viseren at passere mellem to sekundinddelinger. Tænker man sig, at man kunne bevæge sig lige så hurtig som den subatomare partikel, ville dette fænomen tage 204 000 sek., altså næsten to måneder!

Tænker man sig omvendt, at en iagttager på jorden observerer et ur på rumskibet iagttages selvfølgelig samme effekt: Set fra jorden går uret på rumskibet langsommere.

Relativistisk afstande

Præcis det reciprrokke forhold er gældende med hensyn til afstande. Hvis man flyver forbi jorden med høj hastighed, så vil man se, at jorden ikke længere er en perfekt kugle, men skrumper præcis i den retning, som man flyver. Kalder vi jordens diameter L0, så ændres denne i bevægelsesretningen til L, hvor.

  L = L0 * √{1-(v/c)2}.

For v = 30.000 k/s er effekten igen ret lille, L = 0.995 * L. Diameteren i bevægelsesretningen ændrer sig altså fra 12 760 km til 12 700 km. Ved højere hastigheder skrumper jorden mere og mere. Tænker vi os igen, at vi følger den subatomare partikel, så vil jorden være total pandekageformet: præcis midt på pandekagen vil den kun 62 m tyk!

Tænker man sig omvendt, at en iagttager på jorden observerer rumskibet, iagttages selvfølgelig samme effekt: Set fra jorden er rumskibet kortere end den er set fra rumskibet.

Som det ses af det ovenstående, så spiller den specielle relativitetsteori kun en rolle ved hastigheder der er store i forhold til lyshastigheden. I eksemplet du nævner med rejsen fra København til New York vil du være omkring 1/100 sekund yngre end du ville have været, hvis du ikke havde bevæget dig, når du ankommer. Dette lægger man almindeligvis ikke mærke til. Det findes imidlertid situationer, hvor en sådan præcision er afgørende. GPS-systemet, som i dag anvendes til navigation i mange biler, er baseret på satellitter i bevægelse omkring jorden. Hvis man ikke her korrigerede for den relativistiske tidsforlængelse så ville systemet akkumulere en fejl, som vokser med 7 m/sek. Den mest overbevisende bekræftelse af de relativistiske effekter har man imidlertid fra partikelacceleratorer, hvor man rutinemæssigt opererer med partikler, med meget tæt på lyshastigheden.

Med venlig hilsen
Mogens Dam
Malte Olsen